明白了“数”，也就明白了数学

，制定了符号，同时按规定了符号所要遵守法则；这些法则足以声称这些符号的特点，得到它们将近学深入研究本质。将近学深入研究家用可任意的约定来创造将近学深入研究的实体。不一定是所有的将近学深入研究马克思主义社会学都声称同意这种继续做法，但是它们据估计蓝图了对以下几点的基将近假设的一种逻辑学。

当两个子集中所的所有特点都能一对一地对应出去时，就告诉他这两个子集有自始因如此的基将近。

例如，子集（x，y，z）和子集（a，b，c）有自始因如此的基将近，因为我们能够把第一个子集中所的x，y，z与第二个子集中所的a，b，c一对一。再有，如果有20对已婚夫妻坐着独自进到餐，那么丈夫的子集就与妻子的子集有自始因如此的基将近。作为这个自始因如此"轻微"的另一个范例，我们说起了亚里斯多德的全体自始才将将近平方的子集和全体自始才将将近子集的范例，

仔细想一下，如果剔除自然将近中所所有的平方将近，那么残存来将近的个将近的都只与原来的一样多。不管我们喜欢与否，这个赤裸裸的奇迹就出直到现在我们面前∶一个子集的一部分可以与才将个子集有自始因如此的基将近。抽象概念已经被大幅度高估了。抽象概念是一切所谓的下端源。

在这个阶段，一个头等关键性的原因显现了，一个子集或一个类是什么呢？试想所有自始所谓才将将近的子集，问道你自己，你可能能在你内心把这个全体当成一个明确的思考对象，就像三个字母的类x，y，z一样非常容易理所求。为了领都会皮亚诺所创造的超穷将近，他敦促我们继续做的自始是这件真的。

直到现在我们暂时谈论“基将近”的假设，如果两个子集或类的特点能够一对一地一对一，就告诉他它们是相近的。在子集（x，y，z）中所有多少特点呢？显然是3个。但是“3”是什么呢？上头的假设给出谜题

一个等价类中所的真的物的将近目，是相近于该等价类的所有类的那个类。

这个假设是1879年由戈特洛布·形式语言（Gottlob Frege）蓝图的，1901年又由鲍威尔再度蓝图来。它有一点优于“类的基将近”的其他假设，即它既可以应用到极小类，又可以应用于到无穷类。

皮亚诺的“所有代将近将近的类相近于所有自始所谓才将将近”这一极快结果，只是无穷类的许多完全巧合的性质中所的第一个。

例如顾虑超越将近的“普遍存在”。人们猜测当n趋近无穷时，由

的超强所决定的将近是超越的，但是我们无法断定它。

超越将近不是任何所谓才将将近系将近代将近关系式的下端。

非常必要性地，你都会问道蓝图了一个原因∶有多少超越将近？它们比才将将近、所谓将近或全体代将近将近非常多呢，还认常少呢？下端据皮亚诺的定理，才将将近、所谓将近和全体代将近将近的将近目完全一致，这个原因就归因于∶超越将近能用1，2，3，…基元（编号，将近遍）吗？所有超越将近的类（子集），相近于所有所谓才将将近的类吗？谜题是驳斥的，超越将近比才将将近非常为关键性（多无限多）。

如果一个类（子集）相近于所有自始所谓才将将近的类，就告诉他这个类是空集的。一个空集类中所的特点能够用1，2，3，…将近遍；一个不空集类中所的特点不能用1，2，3，…将近遍，不空集类中所的特点比空集类中所的真的物多。不空集类普遍存在吗？皮亚诺断定了它们普遍存在。真的实上，在任何圆圈上的所有点的类就是不空集的，不论这个圆圈多么小。

由此我们可以告诉他，超越将近为什么是不空集的。我们告诉他，任何代将近关系式的任何下端，都能用笛卡儿庞加莱的对称上的点声称。所有这些下端都是由了所有代将近将近的子集，皮亚诺断定了这个子集是空集的。但是如果在直接一个圆圈上的点是不空集的，那么可以推定在笛卡儿对称上的所有点自始因如此也是不空集的。代将近将近造景在对称上，就像织女星造景漆黑的地平线，而稀少的黑色就是超越将近的天空。

关于皮亚诺的断定，最值得注意的是，它没提供哪怕是特征一个超越将近的新方法。下端据克罗内克的看法，所有这些非特征性的废话都是不合逻辑上的。

由于皮亚诺在他的无穷类理论模型中所的废话大多认特征性的，克罗内克把它都是一类危险的将近学深入研究疯狂。因为克罗内克看见将近学深入研究在皮亚诺的指派下南北向穆迪，同时也因为他崇拜者地致力于他所不一定认为的将近学深入研究奥秘，所以他用手边的一切兵器，猛烈、恶毒地攻击“无论如何的无穷理论模型”和皮亚诺，而这暗喻的整部不是子集论进到了穆迪，而是皮亚诺进到了穆迪。

1884都于，皮亚诺在40岁时亲身经历了他的第一次尊严崩溃，从而进到了尊严障碍公立医院。一阵阵深深地的沮丧使他在自己眼里都感到自卑，他开始猜测他的指导的自始确性。他关于无穷的自始确理论模型的一些最好的指导是在两次发作的间歇期内已完成的。当他从发病中所康复悄悄时，他的看似比较多清醒。

随着新时代的预见到，皮亚诺的指导已然开始被人们放弃了，被不一定认为是对才将个将近学深入研究，比较多是对深入研究学基石的一个重大贡献。但是对于这个理论模型，不幸的是同时开始显现了无论如何严重影响着它的悖论和自相敌对。这些也许最后是皮亚诺的理论模型注定要对将近学深入研究重新顾虑的仅有贡献，因为它们在围绕无穷的逻辑上和将近学深入研究废话的基石中所巧合的普遍存在，促进到了直到现在在才将个演绎废话中所的批判运动。

皮亚诺最极快的结果是在不空集集论中所取得的，不空集集最简单的范例是一段圆圈上所有点的子集。在这里只能怎么继续做他的最简单的结论之一。与抽象概念所能得出的相反，两个不等高约的圆圈包涵着自始因如此将近目的点。我们不难看出皮亚诺这个结论的充分性。如下图放置不等高约的圆圈AB，CD。圆圈OPQ付CD于点P，付AB于Q；这样，P和Q就制继续做对了。当OPQ绕0滑动时，点P在CD上移动，同时Q在AB上移动，CD上的每的点有且仅有AB上的的点与之“一对一”。

可以断定一个非常出乎意料的结果。任何圆圈，不管多么小，都包涵着与无限高约的直角自始因如此多的点。进到一步，圆圈包涵的点，与在才将个对称或才将个三维空间或才将个n维空间中所的点自始因如此多（这里n是远大于零的可任意才将将近）。

这里，我们还没竭力去假设一个类或一个子集。然而直到现在的激辩或许敦促给出某种清楚的、自洽的假设。一个子集是由3个特点声称其特点的，

它包涵着具有某种明确性质（比如告诉他红色，或体折，或味道）的一切真的物；没这个性质的真的物都严格来说这个子集；子集中所的每一个特点都可以被识别出是与子集中所的其他真的物相同还是不同。子集本身可以作为一个才将体来无论如何。

在这一点上，我们可以鲜为人知一下才将个将近学深入研究史，并注意在几乎全部将近学深入研究论著中所促使连续促使显现的两种用词。一类是“我们能找到一个远大于2的才将将近”，或“我们能选项一个等于n、远大于n-2的将近”这样的表达。与此有轻微区别的是在将近学深入研究写作中所屡次显现的另一个习惯用语“普遍存在”。例如，“普遍存在一个远大于2的才将将近”，或者“普遍存在一个等于n，远大于n-2的将近”。对于出直到现在皮亚诺理论模型中所的子集（如上面假设的），普遍存在是不能断定的。

这两种告诉他话方式为把将近学深入研究家分成两类，

告诉他“我们能”的人不一定认为（也许是下意识的）将近学深入研究纯粹是人的发明者；告诉他“普遍存在”的人不一定认为将近学深入研究有它自己的远超过人大多的“普遍存在”，我们只能在我们的人天和旅途中所偶然间注意到将近学深入研究的“永恒奥秘”，这很像一个人在一座城中所散步，遇上许多街路，而他与这些街路的工程建设没任何关系。

以“普遍存在”方式为来看继续做子集论的一个关键性的范例，是由著名的再下梅罗特例（公理）提供的。

对于其特点是一些子集P的每一个子集M（也就是告诉他，M是一些子集的一个子集，或是一些类的一个类），这些子集P不空且不相付（即没两个子集包涵携手的真的物），据估计普遍存在一个子集N，它都只包涵构成子集M的每一个子集P中所的一个特点。

比较这个特例与前述子集（或类）的假设表明，如果子集M包涵比如告诉他无穷多条不相付的圆圈，告诉他“我们”的人不都会不一定认为这个特例是不证自明的。然而这个特例看来是比较充分的，但断定它的企图都失败了，而它在一切与不间断有关的原因中所都比较关键性。

这个特例是怎样被引进到到将近学深入研究中所的？这将引出皮亚诺理论模型的另一个未所求决的原因。一个有互不相同的空集的特点的子集，就像一堵挂着的所有砖墙头，能够很非常容易地排出时序；我们只需要按1，2，3，…将近遍它们。

但是我们怎样给直角上所有的点排序呢？无论如何，直角上的可任意两个点密切关系“我们能找到”或“普遍存在”该直角上的另的点。如果我们接下来将近挂着比邻的两块砖墙，挂着就又有另一块砖墙出直到现在它们密切关系，我们的计将近就动荡不安了。然而直角上的点看来可能有某种时序，因为我们能告诉他出的点是在另的点的左边或是左边。为一条直角上的点排序的奋斗没急于。再下梅罗蓝图了他的特例，以使这种奋斗非常非常容易一些，但是它本身还没被普遍放弃为一个充分的假设。

返回皮亚诺理论模型上。可能“普遍存在”或者我们能否“特征”一个子集，它既不相近于所有自始所谓才将将近的子集，又不相近于直角上所有点的子集？谜题是不告诉他。

我们已提过过形式语言，他把“相近于一个等价类的所有类的类”假设为这个等价类的基将近。形式语言耗费多年的时间，竭力把将近的将近学深入研究放置可靠的逻辑上相融合。他毕天和的著作是他的《乘法的基本法则》，第二卷以上头的致辞结束∶

一个生物学家几乎不能进到比这非常难堪的真的情了，即自始当指导已完成时，它的基石却垮掉了。当这部著作此时此刻印完时，伯特兰·鲍威尔先天和的一封信就使我属于这样的境况。

鲍威尔特征了一个子集S：S由一切严格来说自身的子集所都是由。这个子集是自己的特点吗？稍微想一想就能推敲出，不论哪种谜题都是误解的。鲍威尔蓝图他的“循环论证原理”作为一种有鉴于此办法∶“牵涉到一个子集的所有特点的任何刚才，必非该子集的特点”。

为了让将近学深入研究带进到这一困境，微分和莫顿致力于把将近学深入研究废话放置充分的相融合，尽管他们的新方法和逻辑学在几个之外是排外敌对的。

微分

微分向的希腊寻找他的将近学深入研究逻辑学的起源。他重新开始了毕达哥拉斯的构想，即等价一组恰当而充分明确的特例（公理），一个将近学深入研究论证须要按照恰当的演绎废话从这些特例开始。微分使将近学深入研究的特例发展要点比的色雷斯的非常精确，并于1899年出版了他关于庞加莱基石的经典著作的重印。微分的一个敦促是，为庞加莱蓝图的特例应当被断定是自洽的，而的色雷斯或许没明白过这个敦促。为了对庞加莱重新顾虑这样一个断定，他指出由这些特例发展出来的庞加莱中所的任何敌对，都隐含着一个乘法之外的敌对。这样，原因又返回断定乘法的一致性，一直到今天。

因此我们再度退回，询问道“将近”是什么。费马和形式语言两人都把慢慢地投向了“无穷”，费马以他的无穷类假设无理将近；形式语言以他的相近于一个可知类的所有类的类假设基将近。微分也到无穷中所去寻找谜题，他看来，无穷对于理所求极小是不一定需要的。他强烈看来，皮亚诺体制最后都会从炼狱中所所求放出来，

在我看来，这（皮亚诺）是将近学深入研究马克思主义的最感到赞美的果实，可能是人类所智力活动的最高成果之一。没人能把我们逐出皮亚诺为我们创造的乐园，

莫顿

在微分兴奋得意的时刻，莫顿显现了，他告诉他，用微分蓝图的保证免除敌对的特例的新方法已完成了它的使命——没产天和敌对，但是，用这种新方法不都会取得任何有价值的刚才；一个误解的理论模型，即使没因敌对而告终，也无论如何是误解的。

莫顿这一反对下端源是一种最初刚才——据估计在将近学深入研究上是最初。他反对未加限制地应用于形而上学的逻辑上，比较多是在处理无穷子集时，他坚信不一定认为当这样的逻辑上用到在克罗内克的本质上（须要提供一个过程的法则，使子集中所的真的物能由它产天和出来）不能确切地特征出来的子集时，也就是说都会产天和敌对。说谎者只有当用到极小子集时才是充分的。

形而上学发明者他的逻辑上，是作为用到极小子集的一组法则，把他的新方法创建在人类所对于极小子集的专业知识的相融合，没理应不一定认为当适用到极小的逻辑上应用于到无穷时，都会暂时产天和一致的结果。当我们回说起无穷集的或许假设是强调一个无穷集的一部分可以包涵与才将个子集自始因如此多的特点时，这或许是很充分的；当“部分”意味着一些而不是一切时，假设所强调的这种情形对极小集而会不都会发天和。

这里我们有了某些人不一定认为的皮亚诺实无穷理论模型中所麻烦的下端源。至于子集的这个假设——把所有需有某种性质的真的物"融合"形成一个“子集”，不一定适合作为子集论的基石，这是由于这个假设要么不是特征性的（在克罗内克的本质上），要么蓝图了没人能继续做出来的特征性。莫顿否认，说谎者在这种情形的应用于根本就是也不过是对那样一些等价的数学公式指引，这些等价也许前身，但不是也就是说前身，即使它们是恰当运用形而上学的逻辑上推断出出来的。他还告诉他在过去半个世纪中所，许多误解的理论模型（还包括皮亚诺的理论模型）都在这个坚韧的相融合创建出去了。

过去三分之一个世纪的激辩，已经给将近学深入研究的广大版图添加了最初课题——还包括全最初逻辑上。最初课题自始在迅速地与旧有的课题所在之处，协调一致。将近学深入研究的尊严合而为一。自始如皮亚诺所告诉他，"将近学深入研究的本质在于它的少数人"。

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